POR QUE (separado e sem acento) usa-se:
• quando significa "qual motivo" -
Por que ela viajou hoje?
Por que não vieram os computadores?

• quando significa" qual a razão?" em oração interrogativa indireta.
Perguntei-lhe por que faltara à aula. (por qual razão)

• pronome relativo - "pelo qual".
O caminho por que passei era ruim.(pelo qual passei...)

• conjunção integrante.
Anseio por que me digas a verdade.

• equivalente a “motivo pelo qual" ou "razão pela qual".
Viajamos sem roteiro: eis por que nos atrasamos.  

POR QUÊ (separado com acento) usa-se:
• no final de frases interrogativas diretas ou indiretas e quando houver pausa.
Ela saiu cedo, por quê?
Pedro voltou? Por quê?

PORQUE (junto sem acento) - Usa-se:

a) quando explica algo (conjunção coordenativa explicativa) significando:
  "pois" , "porquanto" , "uma vez que" , precedido de pausa.
Não chore porque os olhos ficam vermelhos
Compre agora porque ha poucas peças em estoque.

b)quando indica "causa" (conjunção coordenativa causal)significando:
  "pela causa" , "razão de que" , " pelo fato" , "motivo de que".
Não fui viajar porque estive adoentado.
O governador vetou porque tinha razões políticas.

c) quando significa "para que", (conjunção subordinativa final)
Venha porque não fique só.
"Mas não julguemos, porque não venhamos a ser julgados" (Rui Barbosa)  

PORQUÊ (junto com acento)- Usa-se: 
Quando acompanhado de artigo ou pronome com função de substantivo:
Não sei o porquê de sua rebeldia.
Seria bom saber o porquê de sua tristeza.  

QUÊ (com acento) (é mais ou menos da "família")
Usa-se:
a) Interrogação em finais de oração.
Eu queria comprar um carro, mas com quê?
Você disse o quê?  

b) com função de substantivo.
Essa mulher tem um quê diferente.

c) indicando espanto, protesto (interjeição).
Quê! Nem pense nessa proposta!